Kapten Prancis itu mencetak gol penalti ke pojok bawah gawang di awal pertandingan setelah kiper tuan rumah Sherkhan Kalmurza melompat keluar dari area penalti dan melanggar Franco Mastantuono.
Ia menggandakan keunggulannya di menit ke-52 ketika ia menangkap bola umpan Thibaut Courtois dan menceploskannya melewati Kalmurza.
Pada menit ke-67, Valeri Gromyko tampak dilanggar oleh Dani Ceballos, dengan penalti diberikan kepada Kairat, tetapi keputusan tersebut dibatalkan setelah pemeriksaan VAR.
Meskipun kehilangan peluang emas untuk memastikan hat-trick-nya ketika ia melepaskan bola melebar dengan gawang yang menganga, Mbappe akhirnya menyelesaikan hat-tricknya dari jarak dekat.
Dua pemain pengganti, Eduardo Camavinga dan Brahim Diaz, sama-sama mencetak gol untuk melengkapi kemenangan telak di menit-menit akhir.
Caminga menyundul bola dari jarak dekat dan Diaz mencetak gol ke pojok bawah gawang setelah menerima umpan Gonzalo Garcia, membuat Kairat menelan kekalahan terbesar mereka di kompetisi Eropa.
Kemenangan ini sangat dibutuhkan oleh tim asuhan Xabi Alonso setelah dipermalukan 5-2 oleh rival sekota Atletico Madrid di La Liga pada hari Sabtu.
Gol-gol Mbappe merupakan golnya yang ke-58, 59, dan 60 di Liga Champions, sekaligus menyalip mantan striker Bayern Munich, Thomas Muller, untuk menjadi pencetak gol terbanyak keenam dalam sejarah kompetisi tersebut.